RUS ENG

Альсевич Л.А., Мазаник С.А., Черенкова Л.П. Практикум по дифференциальным уравнениям

Альсевич Л.А., Мазаник С.А., Черенкова Л.П. Практикум по дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие. — Мн.: БГУ, 2000. -- 311 с: ил.

ISBN 985-445-391-х

Даны краткие теоретические сведения и решения типовых задач. Задачи повышенной трудности снабжены указаниями. Приведено большое количество задач прикладного характера, снабженных необходимыми сведениями из соответствующих областей физики, механики, биологии, экономики. Приведены задания для контрольных и лабораторных работ.

Для студентов математических, физических и экономических специальностей высших учебных заведений. Может быть использовано аспирантами, магистрами и студентами всех естественнонаучных специальностей.


Оглавление

Предисловие

3

Основные обозначения

5

ВВЕДЕНИЕ

 

I . Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений

 

1. Дифференциальное уравнение. Порядок уравнения. Решения уравнения

7

II. Простейшие уравнения

 

2. Простейшие дифференциальные уравнения. Общее н частное решения. Начальная и граничная задачи. Функция Грина

12

3. Уравнения с кусочно-непрерывной неоднородностью

15

4. Геометрические приложения простейших дифференциальных уравнений. Простейшие математические модели естественных процессов

17

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

III. Однородные уравнения

 

5. Линейные уравнения со стационарным оператором

22

6. Базис пространства решений

31

IV. Неоднородные уравнения

 

7. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных

34

8. Функция Коши линейного оператора. Разрешение уравнения по правилу Коши

37

9. Уравнение с квазиполиномом. Правило Эйлера

39

10. Математические модели прикладных задач

44

V . Фазовая плоскость однородного линейного уравнения второго порядка со стационарным оператором

 

11. Схема расположения фазовых графиков

57

12. Определение типа точки покоя

63

VI . Устойчивость по Ляпунову линейных уравнений со стационарным оператором

 

13. Устойчивость в смысле Ляпунова

65

14. Асимптотическая устойчивость

67

Контрольная работа 1

70

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

VII . Методы интегрирования стационарных линейных векторных уравнений

 

15. Специальные линейные векторные уравнения

72

16. Сведение линейной системы к совокупности независимых уравнений

76

17. Метод Д'Аламбера решения линейных векторных уравнений

82

18. Экспонентное представление решений. Метод Коши

84

19. Метод Эйлера интегрирования однородных линейных векторных уравнений

102

20. Метод Лагранжа интегрирования неоднородных линейных векторных уравнений

105

VIII . Исследование стационарных линейных векторных уравнений

 

21. Устойчивость решений линейных векторных уравнений в смысле Ляпунова. Асимптотическая устойчивость

108

22. Фазовая плоскость однородного стационарного линейного векторного уравнения

115

23. Разные задачи

119

Контрольная работа 2

125

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 

IX . Уравнения первого порядка в нормальной дифференциальной форме

 

24. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

126

25. Уравнения с разделяющимися переменными

133

26. Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

136

27. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным

141

28. Случаи интегрируемости уравнения Риккати

144

29. Особые решения уравнений в нормальной дифференциальной форме

149

30. Составление математических моделей прикладных задач

153

Контрольная работа 3

166

X . Уравнения в общей форме

 

31. Приведение уравнений в общей форме к уравнениям в нормальной дифференциальной форме

167

32. Метод введения параметра

170

33. Уравнения Лагранжа и Клеро

174

34. Ортогональные и изогональные траектории

178

35. Уравнения п - го порядка, допускающие понижение порядка

181

Контрольная работа 4

187

ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

 

XI . Линейные уравнения с непрерывными коэффициентами

 

36. Понижение порядка уравнения с известным частным решением

188

37. Приведение линейного уравнения к стационарному

193

38. Уравнения Эйлера

195

Контрольная работа 5

200

XII . Линейные уравнении с голоморфными коэффициентами

 

39. Голоморфные решения

201

40. Обобщенные степенные ряды. Уравнения Бесселя

204

41. Колеблемость решений уравнения второго порядка с непрерывными коэффициентами

208

XIII . Дифференциальные системы с переменными коэффициентами

 

42. Дифференциальные системы в нормальной дифференциальной форме

211

43. Дифференциальные системы в симметрической форме

219

44. Функции Ляпунова и устойчивость

222

XIV . Некоторые методы приближенною решения векторных уравнений

 

45. Метод Пикара

230

46. Метод ломаных Эйлера

235

47. Построение приближенного решения в виде ряда

239

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 

XV . Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка

 

48. Однородные линейные уравнения. Задача Коши

243

49. Квазилинейные уравнения с частными производными. Задача Коши

246

XVI . Нелинейные уравнения с частными производными первого порядка

 

50. Уравнение Пфаффа

250

51. Метод Лагранжа

253

Контрольная работа 6

254

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ

 

Работа 1

255

Работа 2

258

Работа 3

261

Работа 4

263

Ответы

266

Приложения

297

Литература

303

Предметный указатель

304

Другие сайты факультетаСтруктураОбразованиеМагистратураНаукаМеждународное сотрудничествоСтудентуНИРСАСовет молодых ученыхОлимпиадыАбитуриентуШкольникуЦентр
Компетенций
по ИТ
Microsoft
Imagine Premium
ИсторияИздания факультетаПрофбюро ФПМИПерсональные страницыФотогалереи Газета ФПМыНаши партнеры