RUS ENG

Вакульчик П. А. Методы численного анализа

Вакульчик П. А. Методы численного анализа: пособие для студентов фак. прикл. мат. и информатики спец. 1-31 03 03 «Прикладная математика (по направлениям)», 1-31 03 04 «Информатика», 1-31 03 05 «Актуарная математика», 1-31 03 06 «Экономическая кибернетика (по направлениям)», 1-98 0101 «Компьютерная безопасность (по направлениям)» / П. А. Вакульчик. - Минск : БГУ, 2008. - 311 с.

ISBN 978-985-518-039-6

В пособии рассмотрен теоретический материал, даны основы современ ных численных методов решения задач математической физики, другие актуальные направления численного анализа. Приводятся образцы выполнения практических заданий. Представлены варианты контрольных работ.

Для студентов факультета прикладной математики и информатики БГУ.


Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ

3

I . ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Тема 1. Интерполяционный многочлен Лагранжа

5

1.1. Постановка задачи интерполирования. Алгебраическое интерполирование

5

1.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа и его остаток

7

Задачи и упражнения 3

13

Тема 2. Интерполяционный многочлен Ньютона

15

2.1. Конечные разности, разностные отношения и их свойства

15

2.2. Интерполяционный многочлен Ньютона

17

2.3. Задача обратного интерполирования

19

Задачи и упражнения

20

Тема 3. Интерполирование по сетке равноотстоящих узлов

23

3.1. Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

23

3.2. Правила интерполирования внутри таблицы

28

Задачи и упражнения

31

Тема 4. Многочлены Чебышева

33

4.1. Определение многочленов Чебышева и их свойства

33

4.2. Минимизация остатка интерполирования

36

Задачи и упражнения

39

Тема 5. Интерполирование с кратными узлами

41

5.1. Постановка задачи кратного интерполирования

41

5.2. Интерполяционный многочлен Эрмита и его остаток

42

Задачи и упражнения

47

Тема 6. Сплайн-интерполирование

50

6.1. Понятие сплайн-функции интерполяционного сплайна

50

6.2. Построение интерполяционного сплайна третьего порядка

51

6.3Построение интерполяционного сплайна третьего порядка методом моментов

53

Задачи и упражнения

57

Тема 7. Численное дифференцирование функций

59

7.1. Численное дифференцирование, основанное на интерполяционном многочлене Ньютона

59

7.2. Некоторые частные правила вычисления производных

61

Задачи и упражнения

65

Тема 8. Среднеквадратичные приближения

67

8.1. Понятие о среднеквадратичном приближении

67

8.2. Метод наименьших квадратов

71

Задачи и упражнения

73

Контрольная работа 1

75

Индивидуальное задание 1

84

Дополнительные задачи и упражнения

90

П. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Тема 9. Интерполяционные квадратурные формулы

96

9.1. Квадратурные правила Ньютона - Котеса

96

9.2. Простейшие квадратурные формулы Ньютона — Котеса

99

9.3. Правило Рунге

106

Задачи и упражнения

107

Тема 10. Квадратурные правила наивысшей алгебраической степени

точности

109

10.1. Квадратурные формулы Гаусса

109

10.2. Квадратурные формулы НАСТ, отвечающие простейшим весовым

функциям

114

Задачи и упражнения

120

III . ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 11. Методы решения интегральных уравнений Фредгольма

второго рода

123

11.1. Метод замены ядра на вырожденное

123

11.2. Метод квадратур решения интегрального уравнения Фредгольма

второго рода

126

11.3. Метод последовательных приближений решения интегрального

уравнения Фредгольма второго рода

129

Задачи и упражнения

130

Тема 12. Методы решения интегральных уравнений Вольтерра

второго рода

133

12.1. Метод последовательных приближений решения интегрального

уравнения Вольтерра второго рода

133

12.2. Метод квадратур решения интегрального уравнения Вольтерра

второго рода

136

Задачи и упражнения

139

Контрольная работа 2

140

Индивидуальное задание 2

150

Дополнительные задачи и упражнения

159

IV . МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Тема 13. Приближенные методы решения задачи Коши

163

13.1. Постановка задачи. Метод Пикара

163

13.2. Метод рядов

166

Задачи и упражнения

168

Тема 14. Методы Эйлера

168

14.1. Явный метод Эйлера, или метод ломаных

168

14.2. Неявный метод Эйлера

170

14.3. Устойчивость методов Эйлера

173

Задачи и упражнения

174

Тема 15. Методы Рунге- Кутты

175

15.1. Построение методов Рунге - Кутты

175

15.2. Методы Рунге - Кутты второго порядка точности

179

15.3. Методы Рунге-Кутты третьего и четвертого порядка точности

181

Задачи и упражнения

184

Тема 16. Методы предиктор - корректор

187

16.1. Общий подход к построению правил предиктор - корректор

187

16.2. Частные правила предиктор - корректор

189

16.3. Правило Рунге

191

Задачи и упражнения

194

Тема 17. Многошаговые правила

196

17.1. Понятие о многошаговых правилах

196

17.2. Экстраполяционный метод Адамса

197

17.3. Интерполяционный метод Адамса

200

Задачи и упражнения

203

Тема 18. Метод сеток решения граничной задачи

204

18.1. Идея метода сеток

204

18.2. Замена граничной задачи системой алгебраических уравнений

205

18.3. Повышение порядка аппроксимации граничных условий

208

18.4. Метод прогонки решения сеточных уравнений

211

Задачи и упражнения

212

Тема 19. Метод моментов и метод Галеркина

214

19.1. Идея метода моментов

214

19.2. Метод Галеркина

216

Задачи и упражнения

220

Тема 20. Метод наименьших квадратов и метод Ритца

221

20.1. Метод наименьших квадратов решения операторных уравнений

221

20.2. Метод наименьших квадратов решения линейной граничной задачи

222

20.3. Метод Ритца

225

Задачи и упражнения

227

Контрольная работа 3

229

Индивидуальное задание 3

236

V . РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Тема 21. Математический аппарат теории разностных схем

245

21.1. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов

245

21.2. Постановка разностной задачи

251

21.3. Повышение порядка аппроксимации разностной схемы

252

Задачи и упражнения

255

Тема 22. Разностные схемы для уравнения теплопроводности

258

22.1. Некоторые разностные формулы

258

22.2. Метод энергетических неравенств

261

22.3. Семейство шеститочечных разностных схем для уравнения

теплопроводности

262

Задачи и упражнения

267

Тема 23. Разностные схемы для гиперболических уравнений

269

23.1. Разностные схемы для уравнения колебаний струны

269

23.2. Явные разностные схемы для уравнения переноса

272

23.3. Неявные разностные схемы для уравнения переноса

275

Задачи и упражнения

278

Тема 24. Разностные схемы для эллиптических уравнений

282

24.1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона

282

24.2. Методы Якоби и Зейделя

285

24.3. Метод переменных направлений решения разностной задачи Дирихле

в прямоугольнике

287

Задачи и упражнения

290

Контрольная работа 4

292

ЛИТЕРАТУРА

307

Другие сайты факультетаСтруктураОбразованиеМагистратураНаукаМеждународное сотрудничествоСтудентуНИРСАСовет молодых ученыхОлимпиадыАбитуриентуШкольникуЦентр
Компетенций
по ИТ
Microsoft
Imagine Premium
ИсторияИздания факультетаПрофбюро ФПМИПерсональные страницыФотогалереи Газета ФПМыНаши партнеры