RUS ENG

Харин Ю. С. Теория вероятностей, математическая и прикладная статистика

Харин Ю. С. Теория вероятностей, математическая и прикладная статистика: учебник / Ю. С. Харин, Н. М. Зуев, Е. Е. Жук. - Минск: БГУ, 2011. - 463 с. - (Классическое университетское издание).

SBN 978-985-518-536-0

Учебник содержит лекционный материал и упражнения по всем разделам теории вероятностей, теории случайных процессов, математической и прикладной статистики.

Для студентов учреждений высшего образования по специальностям «Прикладная математика», «Информатика», «Экономическая кибернетика», «Актуарная математика», «Компьютерная безопасность», «Статистика».

Посмотреть в электронной библиотеке


Оглавление

Предисловие

7

Введение

9

Основные обозначения и сокращения

11

Часть I . ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

Глава 1. Случайные события и их вероятности

17

1.1. Предмет теории вероятностей

17

1.2. Случайные события и соотношения между ними

18

1.3. Понятие вероятности. Простейшие вероятностные модели

20

1.4. Алгебра, σ-алгебра и их свойства. Измеримое пространство

23

1.5. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство

25

1.6. Свойства вероятностной меры (вероятности)

27

1.7. Условная вероятность и ее свойства. Формула полной вероятности. Формула Байеса

29

1.8. Независимые случайные события и их свойства

32

1.9. Схема независимых испытаний Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей

34

1.10. Упражнения

35

Глава 2. Случайные величины и их распределения вероятностей

37

2.1. Понятия случайной величины и распределения вероятностей. Функция распределения и ее свойства

37

2.2. Классификация функций распределения, распределение вероятностей и случайных величин. Основные законы распределения вероятностей

40

2.3. n -Мерная случайная величина и случайный n -вектор. n - Мерная функция распределения, n -мерная плотность распределения вероятностей и их свойства

49

2.4. Условная функция распределения, условная плотность распределения вероятностей и их свойства

53

2.5. Независимость случайных величин

56

2.6. Функциональные преобразования случайных величин

58

2.7. Упражнения

61

Глава 3. Числовые характеристики случайных величин

65

3.1. Схема построения интеграла Лебега по вероятностной мере. Математическое ожидание простой случайной величины и его свойства

65

3.2. Математическое ожидание (интеграл Лебега) для произвольных случайных величин

70

3.3. Свойства математического ожидания (интеграла Лебега)

74

3.4. Неравенства для математических ожиданий

79

3.5. Вычисление интеграла Лебега. Интегралы Лебега – Стилтьеса и Римана — Стилтьеса

82

3.6. Условное математическое ожидание и его свойства

87

3.7. Условное математическое ожидание относительно σ - алгебры и его свойства

90

3.8. Моменты скалярной случайной величины и их свойства

97

3.9. Дисперсия случайной величины и ее свойства

98

3.10. Моменты многомерной случайной величины, ковариация, ковариационная матрица, коэффициент корреляции и их свойства

100

3.11. Энтропия, количество информации по Шеннону и другие числовые характеристики случайных величин

103

3.12. Характеристическая функция и ее свойства

104

3.13. Упражнения

111

Глава 4. Случайные последовательности и их сходимость

1 15

4.1. Определение случайной последовательности и видов ее сходимости

115

4.2. Сходимость почти наверное. Закон 0 v 1 Бореля

116

4.3. Сходимость по вероятности

120

4.4. Сходимость в среднем

124

4.5. Равномерная интегрируемость случайных величин

127

4.6. Соотношения между видами сходимости случайных последовательностей

130

4.7. Упражнения

133

Глава 5. Предельные теоремы

135

5.1. Закон больших чисел и условия его выполнения

135

5.2. Усиленный закон больших чисел и условия его выполнения

138

5.3. Сходимость последовательностей функций распределения и характеристических функций

144

5.4. Условие Линдеберга и его вероятностный смысл

148

5.5. Центральная предельная теорема Линдеберга – Феллера

150

5.6. Частные случаи центральной предельной теоремы

153

5.7. Схема серий. Сходимость к законам Гаусса и Пуассона

155

5.8. Центральная предельная теорема для случайных векторов и слабозависимых случайных величин

156

5.9. Упражнения

157

Часть II . ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

 

Глава 6. Основные определения и общие свойства случайных процессов

161

6.1. Определение и задание случайных процессов

161

6.2. Эквивалентные, тождественные и сепарабельные процессы

163

6.3. Непрерывность и дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном

164

6.4. Стохастические интегралы в среднем квадратичном

166

6.5. Непрерывность траекторий случайного процесса

167

6.6. Упражнения

170

Глава 7. Стационарные в широком смысле случайные процессы

171

7.1. Основные понятия и свойства

171

7.2. Спектральное представление ковариационной функции случайного процесса

172

7.3. Спектральное представление стационарного в широком смысле случайного процесса

173

7.4. Спектральное представление действительных случайных процессов

176

7.5. Линейные преобразования случайного процесса

176

7.6. Прогнозирование случайного процесса

178

7.7. Спектральное представление ковариационной функции случайной последовательности и самой стационарной случайной последовательности

180

7.8. Линейные преобразования случайной последовательности

181

7.9. Последовательности авторегрессии и скользящего среднего

183

7.10. Прогнозирование случайной последовательности

185

7.11. Интерполяция и фильтрация случайной последовательности

187

7.12. Упражнения

189

Глава 8. Случайные процессы с независимыми приращениями

191

8.1. Вид характеристической функции случайного процесса с независимыми приращениями

191

8.2. Винеровский процесс

192

8.3. Пуассоновский процесс

200

8.4. Стохастический интеграл Ито

202

8.5. Существование и единственность решений стохастических дифференциальных уравнений

207

8.6. Упражнения

210

Глава 9. Марковские случайные процессы

213

9.1. Цепи Маркова. Определения и основные свойства

213

9.2. Сходимость вероятностей цепи Маркова. Стационарные вероятности

216

9.3. Дифференциальные уравнения цепей Маркова с непрерывным временем

218

9.4. Ветвящиеся процессы с непрерывным временем

220

9.5. Классификация состояний цепи Маркова с дискретным временем

223

9.6. Эргодические цепи Маркова

226

9.7. Упражнения

227

Глава 10. Мартингалы, полумартингалы и марковские моменты

235

10.1. Мартингалы, полумартингалы и марковские моменты

235

10.2. Неравенства для субмартингалов

238

10.3. Теоремы о сходимости

241

10.4. Сходимость рядов независимых случайных величин

245

10.5. Упражнения

248

Часть III . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ

 

Глава 11. Теория статистического оценивания параметров

251

11.1. Основные понятия теории статистического оценивания параметров

252

11.2. Выборочная функция распределения, выборочная характеристическая функция, выборочные моменты, гистограмма и их свойства

254

11.3. Порядковые статистики, их свойства и применение в теории статистического оценивания

258

11.4. Ранговые статистики и их свойства

262

11.5. Неравенство информации. Неравенство Крамера-Рао. Эффективные оценки

264

11.6. Метод моментов. Оценки по методу моментов и их свойства

271

11.7. Метод максимального правдоподобия и его свойства

272

11.8. Байесовский метод статистического оценивания параметров

279

11.9. Достаточные статистики и их свойства

282

11.10. Метод наименьших квадратов и его свойства

287

11.11. Интервальное оценивание параметров

294

11.12. Робастное статистическое оценивание

301

11.13. Упражнения

306

Глава 12. Теория статистической проверки гипотез

309

12.1. Основные понятия теории статистической проверки гипотез

309

12.2. Решающее правило Неймана – Пирсона

311

12.3. Байесовское решающее правило

314

12.4. Проверка гипотез о распределении вероятностей. Критерии согласия

317

12.5. Критерий отношения правдоподобия для проверки сложных гипотез

321

12.6. Понятие о последовательном анализе Вальда

324

12.7. Упражнения

327

Часть IV . СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫХ ДАННЫХ

 

Глава 13. Разведочный анализ и сжатие данных

331

13.1. Статистический анализ данных и его основные этапы

331

13.2. Выборка из многомерных наблюдений как модель статистических данных

331

13.3. Разведочный анализ данных

332

13.4. Проблема сжатия данных. Метод главных компонент

334

Глава 14. Многомерное нормальное распределение и оценивание его параметров

337

14.1. Многомерное нормальное распределение и его основные свойства

337

14.2. Оценки максимального правдоподобия параметров многомерного нормального распределения. Выборочное среднее и выборочная ковариационная матрица

341

14.3. Вероятностные свойства выборочного среднего и выборочной ковариационной матрицы. Несмещенная выборочная ковариационная матрица

343

14.4. Упражнения

347

Глава 15. Исследование зависимостей

349

15.1. Исследование парной зависимости признаков. Выборочный коэффициент корреляции. Z -статистика Фишера и проверка гипотез о значении коэффициента корреляции

349

15.2. Многомерное нормальное распределение: условные распределения и частный коэффициент корреляции

352

15.3. Многомерное нормальное распределение: прогнозирование, функция регрессии и множественный коэффициент корреляции

355

15.4. Выборочные частный и множественный коэффициенты корреляции. Проверка гипотез независимости

357

15.5. Проверка общих гипотез о независимости

364

15.6. Упражнения

368

Глава 16. Проверка гипотез и статистическая классификация

369

16.1. Проверка гипотез о значении вектора математического ожидания. Т2-статистика Хотеллинга

369

16.2. Сравнение векторов математических ожиданий по двум выборкам. Многомерная проблема Беренса- Фишера

374

16.3. Проверка гипотез относительно параметров многомерного нормального р аспределения

378

16.4. Проверка гипотез относительно нескольких выборок из многомерных нормальных распределений

380

16.5. Задачи статистической классификации. Оптимальное (байесовское) решающее правило

385

16.6. Статистическая классификация многомерных нормальных наблюдений

388

16.7. Дисперсионный анализ

396

16.8. Упражнения

398

Часть V . СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

 

Глава 17. Основные понятия теории временных рядов

401

17.1. Случайная функция как модель статистических наблюдений в динамике. Классификация случайных функций

401

17.2. Временные ряды и их основные характеристики

403

17.3. Стационарные временные ряды. Спектральная плотность стационарного в широком смысле временного ряда

404

Глава 18. Непараметрическое статистическое оценивание характеристик стационарных временных рядов

407

18.1. Выборочное среднее стационарного временного ряда и его свойства

407

18.2. Выборочная ковариационная функция стационарного в широком смысле временного ряда и ее свойства

409

18.3. Статистическое оценивание спектральной плотности

413

18.4. Упражнения

416

Глава 19. Параметрический статистический анализ стационарных временных рядов

417

19.1. Временные ряды авторегрессии, скользящего среднего, авторегрессии и скользящего среднего: условия стационарности и ковариационные функции, единое линейное представление

417

19.2. Асимптотическое распределение выборочного среднего и выборочной ковариационной функции стационарного временного ряда

420

19.3. Статистическое оценивание параметров авторегрессионных временных рядов при известном порядке авторегрессии

421

19.4. Оценивание порядка авторегрессии

424

19.5. Прогнозирование стационарных в широком смысле временных рядов

426

19.6. Упражнения

430

Глава 20. Статистический анализ нестационарных временных рядов

431

20.1. Статистический анализ временных рядов с трендом в ортогональном базисе

431

20.2. Статистическое оценивание временных рядов авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего

435

20.3. Упражнения

440

Глава 21. Статистический анализ однородных цепей Маркова

441

21.1. Однородные цепи Маркова. Основные понятия и свойства. Условия стационарности

441

21.2. Метод максимального правдоподобия для оценивания матрицы вероятностей одношаговых переходов и стационарного распределения вероятностей

443

21.3. Проверка гипотез о цепи Маркова

445

21.4. Упражнения

446

Библиографические ссылки

447

Приложения

449

Предметный указатель

455

Другие сайты факультетаСтруктураОбразованиеМагистратураНаукаМеждународное сотрудничествоСтудентуНИРСАСовет молодых ученыхОлимпиадыАбитуриентуШкольникуЦентр
Компетенций
по ИТ
Microsoft
Imagine Premium
ИсторияИздания факультетаПрофбюро ФПМИПерсональные страницыФотогалереи Газета ФПМыНаши партнеры